nierówność - dowód wiki: Bardzo proszę o pomoc. Udowodnij, że jeśli x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x+y+z = 1, to

	1
x2 + y2 + z2 ≥		.
	3

Eta: z nierówności między średnią kwadratową a średnią arytmetyczną mamy:

	x2+y2+z2		x+y+z
√		≥
	3		3

podnosząc stronami do kwadratu: i podstawiajac za x+y+z=1 ( z załozenia)

	x2+y2+z2		1
		≥
	3		9

	1
to: x2+y2+z2 ≥
	3

c.n.u.

Trivial: Metoda dookoła świata: f(x, y, z) = x² + y² + z², x+y+z = 1 Znajdziemy punkt, dla którego wartość funkcji f jest najmniejsza. G(x, y, z) := x+y+z−1 L(x, y, z, λ) := x² + y² + z² − λ(x+y+z−1)

	∂L
		= 2x − λ
	∂x

	∂L
		= 2y − λ
	∂y

	∂L
		= 2z − λ
	∂z

	∂L
		= x+y+z−1
	∂λ

Rozwiązujemy układ równań: 2x − λ = 0 2y − λ = 0 2z − λ = 0 x+y+z−1 = 0

	λ
x = y = z =
	2

A zatem: 3x−1=0 3x = 1

	1
x = y = z =
	3

	1		1		1
P0 = (		,		,		)
	3		3		3

	1		1		1		1
f(P0) =		+		+		=		.
	9		9		9		3

	1
A zatem, najmniejsza wartość funkcji f to		. c.k.d.
	3

wiki: Dziękuję, Eta. Nie słyszałam o takiej nierówności.

wiki: Dzięki Trivial, ale to zbyt mądre dla mnie. Jeszcze tego się nie uczyłam. Ale dziękuję za pomoc.

Eta: Podam inny sposób wykorzystując zależność ( tę napewno znasz (x−y)² ≥0 => x²+y² −2xy ≥0 => x²+y² ≥2xy ( to jasne) x²+y²+z²= (x+y+z)² −2xy−2xz−2yz=1 −2xy−2xz−2yz≥ 1− (x²+y²+x²+z²+y²+z²) zatem: x²+y²+z² ≥1 −(x²+y²+x²+z²+y²+z²) 3(x²+y²+z²) ≥1

	1
to: x2+y2+z2 ≥
	3

c.n.u. który dowód Ci pasuje, ten wybierz

wiki: Oooo! Dzięki wielkie, Eta. Ten ostatni dowód jeszcze bardziej mi się podoba. Podziwiam Cię!

Eta: He he A mnie ten pierwszy, bo mniej obliczeń . pozdrawiam

kacper: Dowód 1 elegancki, nierówność KAGH kazdy powinien znać

5-latek: Ale czy ucza w szkole tych nierownowsci czy tylko sygmnalizuja z etakie sa. A to jest roznica